Тема 4. Методы расчета надежности
1. Математические основы теории надежности
Теория надежности - наука, изучающая:
- закономерности возникновения отказов систем;
- нормированные критерии и количественные характеристики надежности;
- методы анализа сложных систем по критериям надежности;
- методы повышения надежности;
- методы испытаний на надежность;
- методы эксплуатации систем с учетом надежности (обоснование периодичности технического обслуживания систем, норм запасных частей, методов отыскания неисправностей);
- методы сбора и анализа статистических данных об отказах систем.
Случайный характер времени возникновения отказов, сложность объектов позволяет заключить, что математическим аппаратом теории надежности может быть теория вероятностей и математическая статистика, а также теория массового обслуживания (теория графов и цепи Маркова).
Из-за невозможности точного предсказания отказа как случайного события по времени и месту возникновения следует, что полностью предупредить отказы невозможно. Однако могут быть приняты меры для уменьшения их частоты.
Теория вероятностей изучает:
а) случайные события;
б) случайные величины;
в) случайные процессы (случайные функции).
Если при массовых событиях, например, при массовых испытаниях, обязательно происходит некоторое событие, то такое событие называется достоверным. Если же некоторое событие заведомо не может произойти, то его называют невозможным. События, которые при каждом отдельном явлении (случае, испытании) предсказать невозможно, называют случайными.
Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате испытаний или при какихто явлениях может принимать то или иное значение (например, отклонение размера и изделия от номинального значения, время безотказной работы изделий и пр.).
Случайным процессом или случайной функцией называется совокупность случайных величин, отвечающих различным значениям некоторого неслучайного параметра: изменение диаметра по длине валика, внутренние шумы, флюктуации в электрических цепях и т.д.
Законом распределения случайной величины называют соотношение, позволяющее определить вероятность нахождения случайной величины в любом интервале ее возможных значений. Аналитическим выражением закона распределения случайной величины наработки до отказа t является функция распределения F, равная вероятности Q того, что случайная величина t примет любое значение, меньшее заданной наработки Т
F(t) = Q(t < T)
Следовательно, вероятность отказа за время t численно равна функции F(t) распределения времени наработки системы на отказ. Этот важнейший вывод позволяет непосредственно использовать общие закономерности и свойства функции распределения для определения показателей надежности, т.е. функция распределения случайной величины является ее исчер-пывающей вероятностной характеристикой.
Вероятность безотказной работы определяется по формуле:
где f(t) - плотность распределения наработки до отказа.
2. Методы расчета надежности технических систем
Классификация методов расчетов надежности
Главным назначением расчетов надежности следует считать
- сравнительный анализ различных конструктивных (схемных) вариантов изделия на стадии его проектирования для обоснованного выбора комплектующих элементов, общей структурной схемы, способов резервирования, методов контроля и обслуживания;
- ориентировочная, прогнозируемая оценка надежности изделия на этапе утверждения технического проекта для обоснования вывода о том, что проектируемое изделие может быть изготовлено удовлетворяющим требованиям по надежности;
- ориентировочная, прогнозируемая оценка надежности сложного изделия на этапе отработки опытного образца для обоснования распределения требований к надежности частей изделия и обоснованного, хотя и ориентировочного, определения состава и количества запасных частей и сроков обслуживания.
Применительно к стадиям жизненного цикла систем различают расчеты на стадии проектирования (прогнозирующие расчеты) и на стадии эксплуатации и испытаний (главным образом - констатирующие расчеты). К первой относятся расчеты, основанные на анализе структуры системы и заданных условий работы. Их принято называть расчетноаналитическими или расчетами надежности. Ко второй - расчеты, связанные с обработкой результатов эксперимента или эксплуатации. Они называются - расчетноэкспериментальными или обработкой опытных, статистических данных. По принципиальным основам расчеты делятся на элементные (системные) и функциональные (частным случаем которых являются расчеты параметрические).
По характеру учитываемых отказов различают расчеты с учетом одного вида отказов (внезапных, полных) и с учетом характеристик отказов (внезапные, постепенные, полные, частичные, типа замыкание, обрыв, сбои и т.д.).
По виду систем - расчеты простых систем и сложных систем. Расчеты простых систем в свою очередь делятся на расчеты резервированных и не резервированных систем, систем без восстановления и с восстановлением. Расчеты сложных систем делятся на расчеты надежности контуров управления и расчеты состояний систем.
Из приведенной классификации (рис. 3) видно, что разработаны раз-личные методы расчета надежности.
Их развитие идет по пути разработки все новых моделей расчета. Ре-альные системы соответствуют модели расчета с некоторым коэффициен-том подобия.
Из приведенных в классификации расчетов надежности наиболее про-стыми и освоенными являются элементный, системный расчет с учетом одного вида отказов (внезапного, полного). К наиболее трудоемким отно-сятся функциональный расчет с учетом характера отказов (особенно сбоев), а также расчет надежности сложных и больших систем управления.
Методы расчета
Для расчета надежности используются следующие основные методы:
- метод структурных схем;
- метод логических схем;
- схемно-функциональный метод;
- матричный метод;
- метод графов.
Рассмотрим некоторые из них.
Метод структурных схем.
Этот метод применяется для простых сис-тем при следующих условиях:
- элементы систем рассматриваются как одноотказные;
- система представляется в виде единой структурной схемы, состоящей из суммы последовательных и параллельных соединений элементов, подсистем;
- в структурной схеме одно и тоже событие должно представляться в виде одного элемента, подсистемы, то есть должна соблюдаться ординарность.
Методика построения структурной схемы включает следующие основные этапы:
- составление на основе изучения конструкции функциональной системы принципиальной схемы системы;
- составление текстовой формулировки условий безотказности сис-темы;
- составление структурной схемы, на которой прямоугольником обо-значается событие безотказной работы элемента, а соединяющая линия обозначает связь - последовательность реализации событий безотказной работы системы в целом (последовательное или параллельное соединение);
- составляется уравнение для оценки вероятности безотказной ра-боты системы.
Формула для расчета вероятности безотказной работы системы Pc(t), состоящей из n последовательно соединенных элементов имеет вид:
где Pi(t) - вероятность безотказной работы i-го элемента.
При параллельном соединении двух элементов вероятность безотказ-ной работы системы имеет вид:
Pc(t) = 1 - Qc(t) = 1 - [1 - P1(t)]·[1 - P2(t)] = 1 - [1 - P1(t) - P2(t) + P1(t)·P2(t)] =
= P1(t) + P2(t) - P1(t)·P2(t).
Метод логических схем.
Этот метод применяется:
- для систем, когда трудно обеспечиваются условия независимости событий и ординарности видов отказов, то есть для сложных функциональных систем;
- систем с резервированием с дробной кратностью;
- систем с различными видами отказов для одних и тех же элементов;
- систем, выполняющих несколько функций.
Таким образом, сущность метода заключается в построении уравнения полной группы событий, характеризующих состояние работоспособности системы.
Порядок определения вероятности безотказной работы при методе логических схем следующий:
- формулируются условия безотказной работы системы в целом в зависимости от сочетания возможности появления отказов ее отдельных элементов;
- строится логическая схема условий безотказной работы системы с цепочкой логических связей ее работоспособности и возможных отказов отдельных элементов;
- составляется алгебраическое уравнение событий безотказной работы и расчетное уравнение вероятностей с использованием методов алгебры логики (алгебры Буля);
- производится подбор и подготовка количественных характеристик надежности элементов, входящих в систему;
- определяется вероятность безотказной работы системы в целом и отдельных ее частей.
Основные положения алгебры логики.
В алгебре логики используются основные операции, обозначаемые символами "+" и "х". При логических операциях знак "+" имеет смысл "или". Например, запись А1 + А2 означает, что имеет место событие А1 или событие А2. Знак "х" соответствует "и". Так, если запись А1хА2, то следует читать, что произошли или произойдут события А1 и А2. Так как событие А является дополнением или отрицанием события , то полная группа событий будет
и соответственно
Для логического сложения справедливо
для умножения
Рассмотрим систему, состоящую из двух параллельно включенных фильтров (рис. 4).
Поскольку каждый фильтр (Ф1 и Ф2) может иметь по два отказа: отказ по засорению сеток q'ф и отказ по разрыву сеток q"ф, расчет надежности следует проводить методом логических схем.
1. Сформулируем условия безотказности (согласно порядку расчета).
Система будет работать безотказно, если:
а) все элементы работают безотказно;
б) произойдет отказ по засорению фильтра Ф1, при условии безотказной работы фильтра Ф2;
в) произойдет отказ по засорению фильтра Ф2, при условии безотказной работы фильтра Ф1.
Отказ по разрыву сеток фильтров считаем недопустимым, так как при этом не будет обеспечиваться очистка рабочей жидкости от механических примесей - грязное топливо пойдет в систему
2. Составим логическую схему безотказной работы системы (рис. 5).
3. Составим алгебраическое уравнение события безотказности системы
где 
- индекс, обозначающий отказ по засорению
Запишем расчетное уравнение для определения вероятности безотказной работы системы, для чего события в алгебраическом уравнении заменим их вероятностными
Для удобства расчета перейдем к выражению через вероятности появ-ления отказа q.
Так как Р + q = 1 и q = 1 - Р, то
где q'ф - вероятность засорения фильтра;
q"ф - вероятность разрыва сетки фильтра.
Отказ по разрыву сетки мы считаем недопустимым, но возможность его появления учитываем при помощи величины q"ф , в противном случае нельзя было бы пользоваться выражением для полной группы событий.
Подставляем в уравнение для системы вероятности безотказной работы выраженные через вероятности появления отказа
Определение вероятности возможных переходов восстанавливаемой системы из одного состояния в другое.
На основании анализа состояний изделия составляют граф (рис. 6) возможных состояний, на котором указывают номера состояний, направления переходов состояний (стрелки) и интенсивности переходов.
Далее на основании графа состояний составляется система дифференциальных уравнений, каждое из которых соответствует определенному состоянию и записывается по следующему правилу.
В левой части уравнения записывают dPk(t)/dt, где Pk(t) - вероятность k-го состояния, в правой части - столько членов, сколько стрелок непосредственно связано с данным k-ым состоянием. Каждый член равен интенсивности потока событий, обозначенной на стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка (знак плюс, если стрелка направлена в данное k-ое состояние, и минус в противном случае).
Для состояния х1, изображенного на рис. 6, уравнение состояния имеет следующий вид:
При
,dPi(t)/dt = 0 система дифференциальных уравнений переходит в систему алгебраических уравнений.
Решая полученную систему алгебраических уравнений, определяем вероятность нахождения изделия в каждом из возможных состояний.
Основная проблема при использовании данного метода - это необходимость в определении статистических данных (или норм) по интенсивностям переходов, например, для перехода состояния
Основная проблема при использовании данного метода - это необходимость в определении статистических данных (или норм) по интенсивностям переходов, например, для перехода состояния х1 в состояние х2 - это 
, а при устранении последствий перехода х1 в х2 - это 
.
Основы расчетов надежности и их развитие.
Наиболее известным является расчет надежности простых систем методом структурных схем, отказы элементов которых носят внезапный, независимый характер и под-чиняются экспоненциальному закону распределения. При этом расчет включает следующие этапы:
- разработка структурной схемы расчета надежности на основании физических представлений о работе системы. Структурная схема расчета надежности представляет в общем случае цепь расчета последовательно и параллельно соединенных элементов системы;
- составление уравнения расчета на основании структурной схемы;
- определение показателей надежности исследуемой системы.
В результате решения уравнения при таком методе расчета определяются показатели надежности:
- вероятность безотказной работы простой системы (для структуры с последовательным соединением 
-ых элементов)
где рi - вероятность безотказной работы элементов, соединенных последовательно в структурной схеме расчета;
- вероятность отказа резервированной системы (для структуры с параллельным соединением i-ых элементов)
то есть
Характерные особенности расчетных методов и их виды
Количественные показатели надежности определяются в результате расчетов. Они проводятся и при проектировании, и на заключительном этапе испытаний, и при анализе результатов эксплуатации. Расчеты принято делить на две группы. К первой относятся расчеты, основанные на анализе структуры изделия и заданных условий работы. Их принято называть расчетно-аналитическими, или расчетами надежности. Ко второй - расчеты, связанные с обработкой результатов эксперимента. Они называются расчетно-экспериментальными, или обработкой опытных данных.
Обычно расчеты надежности связаны с предварительным выявлением закономерностей, которым подчиняются изменения действующих факторов, а именно: характер процесса возникновения отказов и процесса восстановления работоспособности, связь между набором входных величин и действием отказов элементов объекта, предполагаемый закон распределения входных величин, влияние используемого способа резервирования, внешних факторов и т.д. Поэтому, как правило, расчеты надежности приобретают все черты, присущие исследованиям сложных, изменяющихся во времени процессов, предсказание характеристики которых называется прогнозированием. Но так как исходные данные, используемые при расчетах, могут определяться с различной степенью прогнозирования, поэтому и расчеты надежности по степени прогнозирования могут быть различными.
Методы расчета надежности находятся в состоянии непрерывного развития. Первые рекомендации сводились к расчетам простых изделий без учета постепенных отказов и влияния контроля и профилактики. Развитие теории надежности сопровождалось большим числом работ в области расчетов. Главное внимание на первых этапах этих работ обращалось на разработку способов резервирования и методов расчета надежности при различном резервировании. Это объяснялось тем, что резервирование оказалось наиболее эффективным средством повышения надежности при рациональном его использовании.
Наиболее употребительные методы резервирования можно разделить на следующие три группы:
- элементное или системное резервирование, при котором в объекте наряду с основными элементами имеют место резервные. Способы включения их разнообразны (параллельное, последовательное, комбинированное, поэлементное, общее, мостиковое, по избирательной схеме, постоянное, с переключающими устройствами и т.д.);
- временное резервирование, при котором предусматривается запас (резерв) времени на выполнение заданных функций. Этот резерв времени позволяет многократно повторять рабочую операцию, обнаруживать отказ и устранять его. Отказ в период резервного времени не приводит к катастрофическим последствиям и его можно не учитывать при расчетах;
- функциональное резервирование, при котором система обладает функциональной избыточностью, т.е. при отказах в системе она продолжает выполнять заданную функцию;
- информационное резервирование, когда при передаче и представлении информации используются добавочные (резервные, избыточные) средства представления (дополнительные кодовые разряды, коды с обнаружением ошибок и т. п.).
Информационная избыточность позволяет исключить искажения в передаче информации даже при наличии отказов в аппаратуре передачи и отображения и поэтому по своему воздействию на надежность относится к категории резервирования.
Направления совершенствования расчетных методов
Первое направление - разработка и совершенствование методов расчета резервированной аппаратуры, включая и аппаратуру с автоматическим перестроением структуры (адаптирующаяся аппаратура), явилось одним из первых и главных направлений совершенствования расчетных методов.
Вторым направлением совершенствования расчетных методов является разработка методов расчета, учитывающих влияние контроля и восстановления работоспособности. Это направление работ также было вызвано потребностью практики, так как при использовании высоконадежной и сложной системы было обнаружено, что для обеспечения высокой надежности такой системы необходим контроль за ее техническим состоянием и рационально организованное обслуживание, связанное с заменой деталей и узлов.
Виды контроля: контроль полный и ограниченный; контроль программный и аппаратурный; контроль непрерывный, периодический и контроль в случайные интервалы времени.
Восстановление работоспособности систем также стало разнообразным (полное и частичное, с потерей и без потери времени и т. д.). Все это потребовало разработки новых приемов расчета надежности, учитывающих влияние на надежность разнообразных способов контроля и восстановления работоспособности.
Третьим направлением явились работы в области расчетов надежности сложных систем. Обычные методы расчета надежности, ориентированные на простые системы, оказались непригодными для расчета сложных систем. Это сделало необходимым разработку специальных методов расчета.
Четвертое направление объединяет работы по расчетам так называемой функциональной и параметрической надежности. Все расчетные методы на первых этапах развития теории надежности были основаны на учете внезапных, полных отказов и на предположении о том, что они подчиняются экспоненциальному закону распределения. Общепринятым считалось также, что отказ системы вызывается отказами ее составных частей, поэтому интенсивность отказов системы определяется как сумма интенсивностей отказов ее составных элементов, скорректированная с учетом применяемого резервирования и восстановления. Такой подход, т.е. элементный расчет надежности, не потерял своего значения и на современном этапе, однако он стал недостаточным.
Очень часто требуется определить не вероятность того, что откажет элемент или группа элементов системы, а вероятность того, что системой будет выполнена заданная рабочая функция. Такая задача стала особенно актуальной с внедрением в технику логических элементов, т. е. устройств, с помощью которых решаются логические задачи. Расчет надежности, при помощи которого решают задачу выполнения заданных рабочих функций, получил наименование расчета функциональной надежности.
Расчетом параметрической надежности принято называть расчет, в результате которого определяется вероятность того, что некоторый параметр или группа параметров, определяющих работоспособность системы, не выйдут за пределы допуска.
Расчет параметрической надежности по существу своему является продолжением обычных инженерных расчетов, которые проводятся в процессе проектирования системы. При проектировании рассчитываются основные характеристики назначения и параметры: устойчивость, точность и т.д. Расчет параметрической надежности является продолжением расчетов указанных характеристик и параметров и сопровождается изучением их изменений с течением времени и определением вероятности выхода их за допустимые пределы. Разработку инженерных методов расчета функциональной и параметрической надежности следует считать пятым направлением работ по расчетам надежности.
Степень прогнозирования указанных расчетов высокая, поскольку в них учитывается характер процессов изменения факторов, влияющих на надежность.
3. Примеры моделей надежности
Модель надежности системы - математическая модель, устанавливающая связь между показателями надежности системы, характеристиками надежности элементов, его структуры и параметрами ее процесса функционирования.
Модель отказа - математическое описание физических и (или) химических процессов, составляющих механизм отказа.
Модели, построение которых позволит раскрыть процессы распределения отказов и даст возможность оценить надежность систем на стадии проектирования, эксплуатации, должны учитывать степень опасности, то есть возможность сравнения с нормами надежности.
Одна из классификаций моделей надежности включает в себя модели применительно к постепенным и внезапным отказам для невосстанавливаемых и восстанавливаемых систем однократного и многократного использования, то есть различают две группы моделей надежности:
- модели надежности, учитывающие постепенные отказы. При них протекание различных процессов повреждения приводит к изменению во времени отказоопасного параметра. Обычно удается ограничиться 1-2 параметрами. Характерным примером постепенных отказов являются случаи воздействия износа и старения на состояние работоспособности;
- модели надежности, учитывающие внезапные отказы. Причина возникновения внезапных отказов не связана с изменением состояния систем в период времени его предыдущей работы или хранения, а зависит от уровня внешних воздействий, связана с неблагоприятным сочетанием внешних факторов, то есть построение моделей связано с условиями эксплуатации системы, режимами работы, с вероятностью возникновения экстремальных нагрузок.
Классификация моделей надежности по характерным признакам приведена на рис. 7.
В модели надежности системы находят отражение только те свойства или характеристики элементов и только те их взаимные связи в системе, которые являются существенными с позиции надежности.
Модели надежности систем подразделяются на модели параметрические и на модели в терминах отказов элементов.
Параметрические модели надежности (как правило характерны для простых систем) строятся на представлении выходной характеристики в виде функции случайных параметров элементов (параметры как случайные функции времени). Система считается не отказавшей, если ее выходные параметры в течение заданного времени находятся в установленных пределах.
Модели в терминах отказов элементов являются основными при исследовании надежности сложных систем. Модель отражает при четком определении понятия отказа для всех элементов системы влияние отказов элементов системы на надежность системы.
По принципам построения модели подразделяются на:
- аналитические (для простых задач определения зависимостей между параметрами системы и показателями надежности);
- статистические (при взаимодействии большого числа факторов, при решении сложных задач);
- комбинированные (аналитические модели для частей задачи и статистические модели задачи в целом).
Модели надежности элементов по степени детализации учета факторов подразделяются на:
- модели типа "нагрузка-прочность" (в качестве нагрузок рассматриваются тепловые, механические, электрические, радиационные и др.);
- модели типа "распределение времени".
Из множества законов распределения случайных величин, разработанных в теории вероятностей, наибольшее значение для теории надежности имеют пять законов: экспоненциальный, нормальный, Вейбулла, Пуассона, биномиальный. Для сложных многофункциональных систем приме-няются комбинации этих законов.
Экспоненциальное распределение (для непрерывных случайных величин). Является одним из самых простых и удобных законов распределения для анализа надежности сложных многоэлементных технических систем при оценке их работы на малых интервалах времени, сопоставимых со временем выполнения задания, и когда каждому задействованию системы предшествует строго регламентированное техническое обслуживание.
Плотность распределения определяется как
- постоянная интенсивности отказов;
t - время.
Функция распределения
Вероятность безотказной работы
Средняя наработка до первого отказа
Для высоконадежных объектов
тогда
Функции 
представлены на рис. 8.
Нормальное распределение (закон Гаусса). Закон занимает исключительное место в теории надежности:
- как средство описания случайных событий износа и старения для малоэлементных простых систем;
- он является пределом, к которому при стремлении к бесконечности числа испытаний приближаются другие законы;
- ему подчиняются независимые случайные величины, сумма которых чем больше, тем точнее подчинение нормальному закону.
Это двухпараметрическое распределение, плотность вероятности которого определяется как
для
Функция распределения имеет вид
Распределение Вейбулла (для непрерывных случайных величин). Распределение Вейбулла было получено экспериментально. Может быть использовано для описания безотказности объектов в течение всех трех типовых периодов эксплуатации: приработка, установившаяся эксплуатация и старение. Используется для исследования распределения ресурсов и сроков службы. Распределение Вейбулла как частный случай при m = 1 включает распределение экспоненциальное, Релея, близкое к нормальному.
При двухпараметрическом распределении плотность распределения вероятности определяется следующим образом:
где
- соответственно параметр формы (имеет разное значение для отдельных типов изделий) и параметр масштаба (характеризует степень растяжения кривой распределения вдоль оси t и связанный со средней наработкой на отказ).
Функция распределения имеет вид
Вероятность безотказной работы
Интенсивность отказов
При m < 1 распределение Вейбулла используется при описании участка приработки, при m > 1 - для участка износа.
Функции
представлены на рис. 10.
Распределение Пуассона (для дискретных случайных величин). Это распределение используется в теории надежности, когда представляет интерес появление некоторого дискретного числа одинаковых событий. Появлению каждого события (отказа) соответствует некоторая точка на временной шкале.
Плотность распределения определяется как
где n = 0,1,2,…;
t - время;
- постоянная интенсивности отказов или интенсивность входящего потока событий
Функция распределения времени наработки системы на отказ имеет вид
Биномиальное распределение - распределение Бернулли (для дискретных случайных величин). Часто используется для определения вероятности дискретных случайных величин, положительных и целых, таких случайных событий, как общее число неудачных исходов в последовательности n испытаний.
Плотность биномиального распределения
где m - возможное число отказов изделий при n испытаниях;
р - вероятность отсутствия отказа изделий в каждом из испытаний;
q - вероятность появления отказа изделий в каждом из испытаний.
Функция распределения
Биномиальное распределение применяется при статистическом контроле качества выборки изделий (не больше 10 % от объема всей партии) или при определении количества отказов невосстанавливаемых изделий в течение заданного времени при испытаниях. При очень малых значениях q биномиальное распределение может быть заменено распределением Пуассона (nq < 0,2), а при больших значениях (nq > 20) - нормальным распределением.
В зависимости от наличия статистической информации об отказах изделия в теории надежности используются теоретические (см. выше), либо статистические описательные модели (например, в виде гистограмм), которые строятся на основе математического описания истинных механизмов, процессов, влияющих на отказ. Теоретические модели позволяют описать явления во всем диапазоне его возможного развития и изучать поведение системы в условиях, в которых еще не были поставлены эксперименты. Теоретические модели, следовательно, могут быть отнесены к прогнозным моделям.
Для обоснованного выбора типа теоретического распределения времени наработки на отказ целесообразно использовать статистическую информацию по отказам. Выбранному теоретическому распределению времени наработки должна соответствовать определенная модель приближения изделия к отказу. Выявление такого соответствия зависит от вида и назначения исследуемых изделий.
